とりあえずなんか書いてみよう

お久しぶりですか？

知らないけど。

一年以上間が空いたのは事実。

とりあえずなんか書いてみようと思って今日は書いていますが、続かないかもしれないですね。

ちなみに初めてケータイで書きましたよ。

便利になったね、世の中。

書いてて気づいたけど、やっぱりTwitterは窮屈ですよ、皆さん。

たくさん考えてたくさん書くと、その分面白い。

かもね。

お詫び

無限図書館の話は筆者がその当時何を考えていたのか忘れてしまったので打ち切ります。

ごめん。

無限図書館についての考察とその副産物たち３

結局３週間以上、風邪と思われる症状が完全には治りきらない状況です

ほとんど良くなりましたが

買い物の記事はまた後日書くつもりです

添え字を書くのにWordを使いますので、ところどころ文章が読みにくくなっているかもしれませんが、許してください

 そして、わざと遠回りな説明をしていきますが、それも許してください

今まで書いた中で重要なこととその付け足し、そして新たに出てくる重要な事柄や仮定・条件などを確認しておきます

確認すべきことの一つ目は同じものを含む順列について

こういう式になりました

二つ目は有限数同士の計算について

有限数同士の有限回の四則計算の結果は有限数になります

三つ目からが新しく確認することです

すべての本はそれぞれ、十分な時間があれば読み終わることができます

ごく当然のことを言っているように思われますが、これは重要なことです

どの本を読んでみても、有限時間内で読み終えることができるのです

四つ目は本に書かれている文字について

世界のどの言語で使われている文字でも、ひと文字ひと文字が独立しているとします

数えることができ、並べ替えることができます

ちなみに「文字」とは空白文字や記号、数字を含みます

五つ目は本に書かれる内容の制限について

これから出てくる図書館に置かれている本には、挿絵や図表、数式などは無く、文字の並びしかありません

しかも文字は原稿用紙に書かれたように整然と並んでいることにします

いよいよ無限図書館にやってきました

無限図書館の何が無限かと言いますと、それは蔵書数です

無限の棚に、無限冊の本が並んでいます

私は一つの問いを立てました

「この無限冊の本がすべて互いに別の本であることはありうるか」

そのことを考えるために、まず世界のすべての文字に番号をふっていきましょう

例えば「あ」は１番、「い」は２番、……、「。」は134番、「？」は135番、……、「a」は320番、……、「８」は587番、「９」は588番、「犬」は589番、……などとふります

そして、ある本に於けるi番の文字の使用回数を

とおきます（前回の例題を思い出してください）

また、ある本に書かれている文字の総数をＬとおきます

よって次の式が成り立ちます

これを①式とします

ある本に書かれている文字の総数は、個々の文字（例えば「あ」、例えば「犬」）の使用回数の和に等しいのです（念のため書いておくと、使われていない文字（０回使われている文字）があっても構いません）

「meet」とだけ書かれた本の場合、書かれている文字の総数は４文字で、それは「m」が１回、「e」が２回、「t」が１回使われていることに拠っています

そしてまたここには「a」や「あ」などを含むたくさんの文字が０回使われています

また、「互いに別の本である」とはどういうことか考えてみましょう

「互いに同じ本である」とは、ここでは以下の２つの条件を満たすということです

１：どの文字も使用回数が互いに等しい

２：文字の順列（並べ方）が互いに同じである

条件１が満たされなければ条件２は満たされないが、条件１だけでは不十分だ、ということが分かると思います

そして、条件１と先ほどの①式とから、「Ｌの値が異なるならば互いに別の本である」が導かれます

次に、本を分類していくことにしましょう

グループ分けです

大体の図書館ではおそらく、ジャンルと形態（文庫、新書、単行本、大型本などなど）によって分類し、さらにその中で作者名や書籍名の50音順に並べたりしていると思います

ここでは一風変わった分類をします

Ｌの値によって、つまり書かれている文字の総数によって分類していくのです

それぞれのグループにいったい何冊くらい含まれているでしょうか

L=1（１文字しか書かれていない本）のグループはさすがに０冊かもしれません

ではL=3000のグループはどうでしょう

400詰原稿用紙７枚半ですが、１冊くらいあるかもしれません

L=100000のグループは……？

実際に分類し、棚の本を順番に並べ替え始めるときりがありません

無限冊の本がありますから、決して終わることはありません

そこで、棚の本を並べ替えないにしても、分類だけは終わっているとしましょう

書かれている文字の総数がＬ文字である本のグループを

と呼ぶことにし、そこに分類された本の冊数を

とおきます

０冊のグループはわざわざ作らないことにします

すると、分類されてできたグループの個数は有限個になります

なぜなら、ここにある本はすべて読み終わることができるからです

読み終わることができるということは、この図書館にある本がそれぞれもつ固有のＬという値の中で、「最大のＬ」（つまり一番ぶ厚くて書かれている文字の総数が多い本のＬの値）の値すら、有限の値であるということです

そして今できたグループの数は「最大のＬ」の値の数以下になります

ありうるグループは

まであるわけですが、さっきも見たように、きっと

となるでしょうし、他にも、Ｌの値があまりにもきりのいい数だった場合などは、０冊のグループとなるでしょう（著者が文字を数えながら書いたなら話は別ですが）

よって、できるグループの個数は多くても「最大のＬ」個しかなく、「最大のＬ」の値は有限数のため、できるグループの個数は有限個になります

風邪でダウン

ちょっと待ってね（あ、いま「レイチェル千石」というワードが頭に浮かんだ）

無限図書館についての考察とその副産物たち２

掛け算の×記号が煩くなってきたので省略することにします

そしてだんだんWordの扱いに慣れてきたので、前回よりもうちょっとましな数式が貼れると思います（ほんまかいな）

ちなみに私は言葉の定義にあまり気を使わないきらいがあるので、コメントでどんどんつっこんでくださるとありがたいです

前回は「同じものを含む順列」がだいたいどんなものであるかということまで書きました

n個のものの中で同じp個のもの、別の同じq個のもの、別の同じr個のもの、……をすべて並べる並べ方の総数は

ちなみに、私が書こうとしていることの肝になってくるのが、ただし書きp+q+r…=nの部分です

まあそのことについてはまた次回

 今回は「同じものを含む順列」の例題をいくつか解いてみましょう

たとえばこんな問題

Ｑ１：

meetという単語の４文字すべてをつかってできる順列の総数は？

Ａ１：

m，e，tの文字数をそれぞれp個，q個，r個とおくと

（mtee，mete，meet，tmee，teme，teem，emte，emet，eemt，etme，etme，eetmの12通り。太字は辞書に載っている単語）

Ｑ２：

meet youという２単語とその間にある半角空白文字の計８文字すべてをつかってできる順列の総数は？

Ａ２：

（eが２個つかわれている）

Ｑ３：

Nice to meet you.という文の空白文字と記号（ピリオド）を含めた17文字すべてをつかってできる順列の総数Ｂは？

Ａ３：

（使われている文字は、N，i，c，e，_（空白文字），t，o，m，y，u，.（ピリオド）の全11種。eと_（空白文字）が３個、tとoが２個あり、他は１個ずつつかわれている）

例題はここまで

Ｑ１のような単語の構成文字並べ替え問題は教科書や参考書に頻出の問題ですから、皆さんも一度や二度は似たような問題をご覧になったことがあると思います

さて、ここで想像に難くないが普段あまり意識されていないだろうことについて確認しておく必要があります

それは「有限の数同士の四則計算（足し算、引き算、掛け算、割り算）の結果（和、差、積、商）は有限の数におさまる」ということです

どんなに大きな数を扱っても、それらが全て有限の数ならば、計算結果は大きくなってもせいぜい有限の範囲でしか大きくなりません（無限に発散することはない、ということ）

このことにはすんなり同意していただけると思います

これも私が書こうとしていることの肝のひとつになっています

次回は３回目

いよいよ無限図書館がその姿を現します（遅っ）

無限図書館についての考察とその副産物たち１

仰々しいタイトルに負けない記事を書きたいと思いますが

いやはや、考えていた道徳ネタは時間がかかってしょうがないので、持ちネタでつながせていただきます

まあ持ちネタといったって誰かが似たようなことを考えているでしょうけどね

この話には少しだけ数学が出てきます

ご了承ください

ちなみに、いわゆる「同じものを含む順列」というものを使います

ごく軽く復習してみましょうか

いくつかの異なるものの中からいくつかの異なるものを取ってきて、順番をつけて並べる並べ方を考えてみましょう

たとえば、a，b，cという異なる３個の文字全部を使って作ることができる並べ方はいくつかあります

abc，acb，bac

などがありますが、すべて数えると

abc，acb，bac，bca，cab，cba

の６通りあることが分かります

異なる何個かのものをすべて使って作ることができる並べ方の数は、実は何個のものを並べるかによってのみ決まります

nを0以上の整数だとします

異なるn個のものすべてを使って作ることができる並べ方の数は

という式で決まります

n!というのは、nにn-1を掛け、さらにn-2を掛け……と１ずつ小さくなっていく整数を掛け合わせていき、最後に１を掛け合わせたときの、その積（掛け算の計算結果）を表します（ただしn=0の場合、n!=0!=1とします）

いま異なる３個のものをすべて並べたのでn=3

つまり３×２×１＝６（通り）あるということが分かります

ではa，b，c，dの４個の文字の中から異なる３個の文字を選んで、その３文字を並べる並べ方はどうなっているでしょう

これも、異なる何個のものの中から異なる何個のものを選ぶかによってのみ決まり、この並べ方を順列といいます

異なるn個のものの中から異なるr個のもの（n≧r≧0）を選んで並べる並べ方の数は

という式で決まります

ここではn=4、r=3ですから、

４×３×２＝24（通り）あることが分かります

前のa，b，cの３文字すべてを使った例はn=3，r=3だったわけです

この手の計算は実際に手を動かしてみると納得できることが多いですから、もし以上の説明に首をかしげる方がおられれば、ネットで「順列」を調べながら自分で計算してみるといいでしょう

さて「同じものを含む順列」は「順列」の考え方だけでなく「組み合わせ」の考え方も使いますので、そちらも軽く説明しておきます

先ほどは異なる何個かのものを選んで並べましたが、組み合わせは選ぶところで終わります

並べません

並べ方の数ではなく選び方の数に注目します

組み合わせは異なる何個かのものの中から異なる何個かを選ぶ選び方の数で、異なるn個のものの中から異なるr個選ぶ選び方の数は

という式で決まります（順列ではr個選んだあとr個並べる並べ方としてr!を掛け合わせていたと言うこともできます）

たとえば、a，b，c，dの４個の文字の中から異なる３個の文字を選ぶ選び方は

n=4，r=3ですから、４×３×２÷６＝４（通り）あるということが分かります

いよいよ同じものを含む順列の説明です

これもごく軽く

組み合わせの説明までは「異なる」という言葉を多用しましたが、今度は同じものを選ぶことも考えます

今度は具体例から考えます

a，a，a，b，bの５個の文字すべてを使って作ることができる順列の総数を考えましょう

まずaについて考えます

この場合、３個の同じ文字aの位置の決め方は、５個の場所から３個の場所を選ぶ選び方ですから、その数は組み合わせの式より10通りあります

その各選び方に対して、２個の同じ文字bの位置の決め方は、残り２個の場所から２個とも選ぶ選び方で、組み合わせのの式より１通りあります

よってこの５個の文字すべてを使って作ることができる順列の総数は10×１＝10（通り）となります

見やすくしてみましょう

このように組み合わせＣの積で表すことができます

一般にn個のもののうち、p個が同じもの、q個が別の同じもの、r個がさらに別の同じ

もの、……であるとき、これらのn個のものすべてを使って作ることができる順列の総数は

となります

ちなみに最初にやった３個の異なる文字をすべて使う例はn=3，p=q=r=1だったということになりますね

今回の一連の記述は数研出版の改訂版数学Ａ（平成18年２月24日検定済）を参考にしました

ドイツ映画

ドイツ語の先生に「Der Untergang」の語尾の発音について質問したらドイツ映画の話になった（ここでハリウッド映画の話になっては絵にならない）

そこで紹介していただいたのが「Uボート」と「アイガー北壁」

前者は今日借りてきた

後者は取り扱っていなかったので取り寄せ

先生曰く「（大戦を扱った）ドイツ映画を見ていると思うけど、当時のドイツ軍は侵略に燃えたのではなく、自分たちの兵器や技術力に誇りをもって、それを示そうとしたところがあったのではないか」と

そういえば「パットン大戦車軍団」にも「ドイツ軍の戦車は砲撃されても走り続けているのに、我々（アメリカ軍）の戦車はどんどん爆発していく」といったセリフがあったな

TSUTAYAに検索機と取り寄せサービスがあることに今日気づいた（検索機は一部店舗だけかもしれないけれど、置いてほしいなぁと思っていたものなので、発見できてよかった）

前回借りた「マトリックス」は忙しくて見ることができなかった

また借りよう

「マトリックス」のブルーレイは無いと思っていたが、検索機によるとどうやら取り扱っているらしい

一つ目のブログ↓

http://blog.goo.ne.jp/musica0515_2006/e/6293720f34eb126131bb8206fa8bc1e2

ちょっと忙しい と 見えるかどうか

ネタがまだできあがらない

おいそが氏

クレーは「私は生み出すのではなく、見えるようにするのだ」と言ったという

ということは、私がクレーの絵を見て思いを至らせなければならないだろうことは、私の目の前にあるこれが今まで私に見えていなかった、ということなのではないか

もっと極端に言えば、クレーは見えるようにしただけだ、ただそれだけだとも言えるだろう

私には見えていなかっただけ、ただそれだけのことなのだ

では、もともと世界のどこかに存在した、例えば綱渡り師が、パルナッソス山が、あるいはレールの上のパレードが、クレーによって見えるようになったのか、と言えば、それにはすぐに「そうだね」と同意することはできない

かと言って、やはりクレーは綱渡り師たちを新たに生み出して描いたのだ、という意見にも同意することができない

存在するかどうかということ、存在するとは何かということ、これらは難し過ぎる

私は当座考えないことにする

この考えはなにも絵に関することだけにあてはまるものではないように思われてくる

例えば、私に今、ビルが見えているとする

はたしてビルは存在するだろうか？

そんな難しいことはいい、私は忙しい

見える、それでいいだろう

これは仕方のないことだ

現に見えているのだから

私とビルとの間に、視界を遮るものが存在しない

本当に？

いい、私は忙しい

見えない、それでいい